كيفية حساب مساحة المثلث وأمثلة على حساب مساحة المثلث

كيفية حساب مساحة المثلث وأمثلة على حساب مساحة المثلث من المعلومات التي يبحث عنها كثير من الزوار وخصوصًا من الطلاب، إذ يعاني البعض من بعض الصعوبات في حساب مساحة المثلث، وسوف نقدم للزوار الكرام في هذا المقال معلومات عن المثلثات وأشكال وأنواع المثلثات حسب الأضلاع وحسب الزوايا، كما سوف نتعرف على طريقة حساب مساحة المثلث وقوانين حساب مساحة المثلث، إضافة إلى العديد من الأمثلة الحسابية على حساب مساحة المثلث وغيرها من المعلومات والتفاصيل.

معلومات عن المثلث

يمثِّل المثلث أحد الأشكال الأساسية في علم الهندسة والرياضيات، وهو عبارة عن شكل ثنائي يتكون من ثلاثة رؤوس وثلاثة أضلاع، والأضلاع هذه عبارة عن قطع مستقيمة محصورة بين الرؤوس الثلاثة، ومن شروط تشكل المثلث أن يكون مجموع طولي أي ضلعين فيه أكبر من طول الضلع الثالث، وتختلف أنواع المثلثات حسب زواياه أو حسب أطوال أضلاعها، ويصنف المثلث حسب أطوال أضلاعه إلى مثلث متساوي الأضلاع وجميع أضلاعه لها نفس الطول، ومثلث متساوي الساقين يكون فيه ضلعين فقط بنفس الطول، ومثلث مختلف الأضلاع وتكون أطوال أضلاعه وزواياه مختلفة، وأما حسب زواياه يصنف المثلث إلى مثلث قائم الزواية فيه زاوية قياسها 90 درجة، ومثلث منفرج الزاوية تكون زاوية فيه أكبر من 90 درجة وأقل من 180 درجة، ومثلث حاد الزوايا كل زواياه أقل من 90 درجة، وإنَّ مجموع زوايا المثلث الثلاثة دائمًا تساوي 180 درجة.^[1]

كيفية حساب مساحة المثلث

تمثل مساحة المثلث المنطقة التي تحصرها أضلاعه، وتقاس المساحة بوحدة قياس مربعة، فإذا كانت الأطوال بالمتر تكون المساحة بالمتر المربع وإذا كانت بالسنتيمتر تكون المساحة بالسنتيمتر المربع وهكذا، وتوجد قوانين كثيرة وعديدة من أجل حساب المثلث، كما تختلف الطريقة حسب المعلومات المتوفرة عن المثلث وحسب شكل المثلث في بعض الأحيان، وفيما يأتي سيتم إدراج هذه الطرق بشكل مفصل:

القانون العام لحساب مساحة المثلث

يوجد قانون عام في مسائل حساب مساحة المثلث، ويستخدم هذا المثلث من أجل حساب العديد من أشكال المثلثات مثل المثلث المتساوي الأضلاع والمثلث المتساوي الساقين والمثلث قائم الزاوية، ويعدُ هذا القانون أشهر وأبسط قانون في حساب مساحة المثلث، ولذلك يتم الاعتماد على هذا القانون بشكل كبير في مسائل حساب مساحة المثلثات، وفيما يأتي نص القانون العام لحساب مساحة المثلث وهو:

• مساحة المثلث = ½ × ق × ع = ½ × القاعدة × الارتفاع

حساب مساحة المثلث بصيغة هيرو

من القوانين الشهيرة في حساب مساحة المثلث بالتعرف على أطوال أضلاعه قانون هيرو، ولذلك يستخدم في المثلث مختلف الأضلاع إذا علمت أطوال الأضلاع كلها، وفيما يأتي سوف يتم إدراج قانون حساب مساحة المثلث بصيغة هيرو:

• مساحة المثلث = [نصف المحيط × (نصف المحيط – الضلع الأول) × (نصف المحيط – الضلع الثاني) × (نصف المحيط – الضلع الثالث)] √

أي تحسب مساحة المثلث من خلال الجذر التربيعي لنصف محيط أضلاع المثلث مضروب بنصف المحيط ناقص طول الضلع الأول وبنصف المحيط ناقص طول الضلع الثاني وبنصف المحيط ناقص طول الضلع الثالث، وإذا كانت أطوال الأضلاع تقاس بالسنتيمتر فإنَ المساحة تقاس بالسنتيمتر المربع.

حساب مساحة المثلث بدلالة جيب إحدى زواياه

من القوانين المهمة في حساب مساحة المثلث القانون الذي يعتمد على جيب إحدى الزوايا، ويستخدم هذا القانون في حساب مساحة المثلث مختلف الأضلاع وحساب مساحة مثلث قائم الزواية، ولكن لا بدَ من معرفة أطوال ضلعين والزواية المحصورة بينهما، وكما سبَق إذا كانت وحدة قياس الأضلاع سنتيمتر تكون وحدة قياس المساحة سنتيمتر مربع، وفيما يأتي نص قانون حساب مساحة المثلث بدلالة جيب إحدى زواياه:

• مساحة المثلث = ½ × الضلع الأول × الضلع الثاني × جيب الزاوية = ½ × ض1 × ض2 × جا(س)

حساب مساحة المثلث حسب نوعه

بعض الأشخاص يبحث عن قوانين حساب مساحة المثلث حسب شكله، إذ يسهِّل ذلك من طريقة حساب مساحة المثلث ويساعد في الوصول إلى القانون المناسب الذي يمكن من خلال حساب مساحة المثلث، وفيما يأتي مساحة المثلث حسب حسب شكله:

مساحة المثلث القائم

يمكن استخدام أكثر من قانون من القوانين السابقة من أجل حساب المثلث قائم الزاوية، وأشهر طريقة لحساب مساحة هذا المثلث هي استخدام القانون العام لحساب مساحة المثلث وهو: مساحة المثلث = ½ × ق × ع = ½ × القاعدة × الارتفاع، كما يمكن حساب مساحة المثلث القائم باستخدام قانون صيغة هيرو، إذ أن حساب طول الضلع الثالث في المثلث يمكن من خلال قانون فيثاغورث في معرفة طول ضلعين فقط، حيث أنَّ مربع طول الوتر يساوي مجموع مربع الضلع القائم الأول مع مربع الضلع القائم الثاني.

مساحة المثلث متساوي الساقين

توجد قوانين عديدة يمكن استخدامها في حساب مساحة المثلث متساوي الساقين وذلك حسب المعلومات المتوفرة عن أضلاع المثلث وزواياه، حيث يمكن استخدام القانون العام لحساب مساحة المثلث في حال معرفة طول القاعدة والارتفاع وهو الخط النازل من الرأس المقابل للوتر بزاوية 90 درجة، ويمكن استخدام قوانين أخرى، وأما في حالة معرفة طول قاعدة المثلث وطول أحد الضلعين المتساويين يمكن أيضًا استخدام القانون التالي: مساحة المثلث = طول القاعدة × الجذر التربيعي (4×طول إحدى الساقيين المتساويتين² – طول القاعدة²)/4، وأما في حال معرفة طول القاعدة وإحدى زوايا القاعدة يمكن استخدام القانون التالي: مساحة المثلث متساوي الساقين = (طول القاعدة²× ظا (زاوية القاعدة))/ 4 وغير ذلك.

مساحة المثلث مختلف الأضلاع

يمكن أيضًا حساب المثلث مختلف الأضلاع باستخدام عدة قوانين أيضًا، حيث يمكن استخدام القانون العام في حساب مساحة المثلث عن طريق معرفة أحد الأضلاع وهو القاعدة، ومعرفة الارتفاع النازل عليه من الرأس المقابل له، كما يمكن استخدام قانون صيغة هيرو بعد معرفة أطوال الأضلاع جميعها، وفي حالة معرفة طول ضلعين والزاوية بينهما يمكن الاعتماد على قانون: مساحة المثلث = ½ × الضلع الأول × الضلع الثاني × جيب الزاوية،

أمثلة على حساب مساحة المثلث

يرغب كثير من الطلاب بالحصول على أمثلة مسائل محلولة لحساب مساحة أشكال عديدة من المثلثات وذلك من أجل توضيح كيفية حساب مساحة المثلث بطرق عديدة، وباختلاف المعطيات الموجودة حول المثلث، وفيما يأتي عدة أمثلة على طريقة حساب مساحة المثلث:

المثال الأول

احسب مساحة مثلث علمت أطوال أضلاعه جميعها على التوالي وأطوالها هي: 5 متر، 7 متر، 8 متر، كيف يمكن حساب مساحة هذا المثلث؟

يمكن استخدام صيغة هيرو من أجل حساب مساحة المثلث وهو: مساحة المثلث = [نصف المحيط × (نصف المحيط – الضلع الأول) × (نصف المحيط – الضلع الثاني) × (نصف المحيط – الضلع الثالث)] √، حيث أنَّ نصف المحيط = 10 وبالتالي مساحة المثلث = [ 10 × (10 – 5) × (10 – 7) × (10 – 8)] √ = 17.32 متر مربع.

المثال الثاني

احسب مساحة مثلث إذ علم أن طول قاعدته يساوي 12 سم وطول الارتفاع فيه يساوي 15 سم:

يمكن حساب مساحة هذا المثلث باستخدام القانون العام لحساب مساحة المثلث وهو: مساحة المثلث = ½ × ق × ع = ½ × القاعدة × الارتفاع = مساحة المثلث = ½ × 12 × 15 = 90 سم^2

المثال الثالث

احسب مساحة مثلث إذا علمت أن طول الضلع الأول له 115 سم والضلع الثاني 70 سم، وقياس الزاوية المحصورة بين هذين الضلعين تساوي 120:

يمكن استخدام القانون الذي يعتمد على طول ضلعين وجيب الزاوية بينهما وهو: مساحة المثلث = ½ × الضلع الأول × الضلع الثاني × جيب الزاوية = ½ × ض1 × ض2 × جا(س) = ½ × 115 × 70 × جا (120) = 2336.96 سم مربع.

مقالات قد تهمك

وإلى هنا نكون قد وصلنا إلى نهاية مقال كيفية حساب مساحة المثلث وأمثلة على حساب مساحة المثلث وقد تعرفنا على أهم المعلومات عن المثلث وما يدور حوله، بالإضافة إلى أشكال المثلث حسب أطوال أضلاعه وحسب أنواع زواياه، كما تعرفنا على حساب مساحة المثلث بالقوانين وحسب أشكاله وما إلى هنالك من معلومات متعلقة.