حساب حجم الأسطوانة المفرغة وأمثلة على حساب حجم الأسطوانة

حساب حجم الأسطوانة المفرغة وأمثلة على حساب حجم الأسطوانة من المعلومات التي قد يجهلها بعض الزوار، ويعتقدون أنَّ حساب حجم الأسطوانة من المسائل الصعبة، ولكن بمجرد معرفة بعض القواعد الأساسية تتضح سهولة هذا الأمر، وسوف نتعرف في هذا المقال على تعريف الأسطوانة، وعلى طريقة حساب مساحة قاعدة الأسطوانة وحجم الأسطوانة بالتفصيل، إضافة إلى بعض الأمثلة عن حساب حجم الأسطوانة.

تعريف الأسطوانة

تعدُ الأسطوانة أحد الأشكال والمجسمات الأساسية في الهندسة، وهي عبارة عن مجسم يتشكل سطحه من النقاط التي تبعد عن نفس المسافة عن قطعة مستقيمة في منتصف الأسطوانة وتسمى المحور، ويسمى الحيز المغلق فيها المستويين المتوازيين وهما يتعامدان مع المحور، وبمعنى آخر فالأسطوانة هي مجسم يتشكل نتيجة دوران مستطيل واحد حول أحد أضلاعه دورة كاملة، ومحور الدوران الذي يدور حوله المستطيل هو محور الأسطوانة، والضلع المقابل له هو الضلع المولد الذي رسم الأسطوانة وشكَّل سطحها، وقد تكون الأسطوانة قائمة أو مائلة، فإذا كان ارتفاع الأسطوانة عمودي على محيط القاعدتين في الأسطوانة كانت أسطوانة قائمة، وإذا كان الارتفاع مائلًا على محيط القاعدتين كانت أسطوانة مائلة.^[1]

حساب حجم الأسطوانة المفرغة

إنَّ حساب حجم الأسطوانة مثل بقية المجسمات تقريبًا، إذ أنَّ القوانين المتَّبعة في ذلك هي مساحة القاعدة مضروبة بالارتفاع كما في مساحة المكعب مثلًا، ولذلك يجب التعرف على مساحة قاعدة الأسطوانة قبل التعرف على طريقة حساب حجم الأسطوانة سواء كانت مفرغة أم غير مفرغة، وفيما يأتي التفصيل في ذلك:

كيفية حساب مساحة الأسطوانة

تأخذ قاعدة الأسطوانة شكلًا دائريًا كما هو معروف، وبالتالي حساب مساحة القاعدة هو نفسه قانون حساب مساحة الدائرة، وتحسب مساحة الدائرة من خلال معرفة قياس قطر الدائرة فقط، بعد تقسيمه على اثنين وتربيعه ثم ضربه بالثابت π والذي تساوي قيمته 3.142، وفيما يأتي قانون حساب مساحة قاعدة الأسطوانة بالتفصيل:

• مساحة قاعدة الأسطوانة = مربع نصف القطر * π = نق² * π = نق² * 3.142

كيفية حساب حجم الأسطوانة

بعد معرفة حساب مساحة قاعدة الأسطوانة يكون من السهل معرفة حساب حجم الأسطوانة، حيث أنَّ الحجم هو مساحة القاعدة ضرب الارتفاع، وفيما يأتي قانون حساب حجم الأسطوانة:

• حجم الأسطوانة = مساحة القاعدة * الارتفاع = نق² * 3.142 * الارتفاع

حساب حجم مخروط يشترك مع الأسطوانة في القاعدة والارتفاع

بينت التجارب الهندسية أنَّ المخروط الذي يشترك مع الأسطوانة في نفس القاعدة والارتفاع يساوي ثلث حجمها، فإذا ما استخدم هذا المخروط لملء تلك الأسطوانة تكفي ثلاثة مقادير كاملة منه لملء الأسطوانة بكاملها وهذا يثبت أن حجمه يساوي ثلث حجمها تمامًا، وفيما يأتي قانون حساب مخروط يشترك مع الأسطوانة في القاعدة والارتفاع:

• مساحة المخروط = 1/3 * نق² * 3.142 * الارتفاع

أمثلة على حساب حجم الأسطوانة المفرغة

كثير من الناس يرغبون بقراءة الأمثلة من أجل فهم القاعدة أو القانون أكثر، حيث أنَّه كثير من الأفكار وخصوصًا في الرياضيات لا تتوضح إلا من خلال الأمثلة، وفيما يأتي سوف يتم إدراج بعض الأمثلة على حساب حجم الأسطوانة:

المثال الأول

ما هو حجم مجسم أسطواني الشكل، إذا كان قطر قاعدته يساوي 30 م وكان ارتفاعها يساوي 12 متر؟

يعدًّ هذا المثال من الأمثلة السهلة، حيث أنَّ المعطيات المطلوبة كلها معنا، ونصف القطر هو 30 / 2 = 15 متر، وبالتالي حسب قانون مساحة حجم الأسطوانة = مساحة القاعدة * الارتفاع = نق² * π * الارتفاع = 15 * 15 * 3.142 * 10 = 7069.5 متر مكعب.

المثال الثاني

ما هو حجم الأسطوانة إذا كان نصف قطر قاعدتها 4.25 متر فقط، وكان ارتفاعها يساوي 235 سم؟

يمكن أيضًا تطبيق قاعدة حساب حجم الأسطوانة وهو = مساحة القاعدة * الارتفاع = نق² * π * الارتفاع، ولكن الأطوال ليست موحدة القياسات، لذلك يجب تحويل الارتفاع إلى المتر من خلال التقسيم على 100 ويصبح الارتفاع = 235 / 100 = 2.35 متر، ويتم تطبيق القانون ويكون حجم الأسطوانة = نق² * 3.142 * الارتفاع = 4.25 * 4.25 * 3.142 * 2.35 = 133.368 متر مكعب.

المثال الثالث

توجد لدينا أسطوانة تبلغ سعتها 3500 متر مكعب، وطول قطر قاعدة الأسطوانة يساوي 4 متر، احسب ارتفاع الأسطوانة حسب تلك المعطيات الموجودة معك؟

يمكن حساب ارتفاع الأسطوانة من خلال تطبيق نفس قانون حساب حجم الأسطوانة السابق مساحة القاعدة * الارتفاع = نق² * 3.142 * الارتفاع، ومن خلال تعويض البيانات والمعلومات المتوفرة معنا تصبح المعادلة كما يأتي:

3500 = نق² * 3.142 * الارتفاع = 4 * 3.142 * الارتفاع = 12.568 * الارتفاع، وبالتالي فإنَّ الارتفاع = 3500 / 12.568 = 278.485 متر

المثال الرابع

قد يأتي المثال بطريقة مختلفة، ففي هذا المثال يوجد لدينا أسطوانة بلاستيكية مفرغة من الداخل على شكل أنبوب، وقطر الأسطوانة من الداخل يبلغ 15 سم، بينما يبلغ قطر الأسطوانة من الخارج 18 سم، ويبلغ ارتفاع الأسطوانة 50 سم، والمطلوب حساب حجم المادة التي صنعت منها الأسطوانة؟

من أجل حساب المادة التي صنعت منها الأسطوانة يجب حساب حجم الأسطوانة الداخلية ثم الأسطوانة الخارجية، ثم يتم طرح حجم الأسطوانة الداخلية من الخارجية للحصول على حجم المادة التي صنعت منها الأسطوانة وذلك كما يأتي:

حجم الأسطوانة الكبرى بالاعتماد على القطر الأكبر = مساحة القاعدة * الارتفاع = نق² * π * الارتفاع = 18 * 18 * 3.142 * 50 = 50900.4 سنتيمتر مكعب

حجم الأسطوانة من الداخل بالاعتماد على القطر الأصغر = مساحة القاعدة * الارتفاع = نق² * π * الارتفاع = 15 * 15 * 3.142 * 50 = 35347.5 سنتيمتر مكعب.

حجم المادة التي صنعت منها الأسطوانة = حجم الأسطوانة الكبرى – حجم الأسطوانة الصغرى = 50900.4 – 35347.5 = 15552.9 سنتيمتر مكعب، ويمكن التحويل إلى متر مكعب من خلال التقسيم على مليون لأنَّ كل 1 متر مكعب = مليون سنتيمتر مكعب، وبالتالي يكون حجم المادة التي صنعت منها الأسطوانة = 15552.9 / 1000000 = 0.0155529 متر مكعب.

مقالت قد تهمك

وإلى هنا نكون قد وصلنا إلى نهاية مقال حساب حجم الأسطوانة المفرغة وأمثلة على حساب حجم الأسطوانة وقد تعرفنا على مفهوم الأسطوانة في علم الهندسة، كما تعرفنا على طريقة حساب حجم الأسطوانة وحساب مساحة قاعدة الأسطوانة، كما تمَّ إدراج أمثلة على حساب حجم الأسطوانة وغير ذلك.